Задача 111603

Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Укажите все выпуклые четырёхугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.

Решение

Обозначим через α , β , γ и δ последовательные углы четырёхугольника. По условию задачи sin α+ sin γ = sin β + sin δ , а т.к. α+β+γ+δ = 360^o , то sin δ= sin (360^o -α-β -γ)=- sin (α+β +γ) , поэтому sin α+ sin γ = sin β - sin (α+β +γ) . Преобразуем это равенство, применяя формулы тригонометрии.

2 sin cos = -2 sin cos (β + ),
Заметим, что α+γ 360^o , поэтому sin 0 , значит,
cos = - cos (β + ), cos + cos (β + )=0,

2 cos cos , cos cos = 0,
откуда находим, что cos =0 или cos =0 , значит, α+β = 180^o или γ+β=180^o , а т.к. углы α и β прилежат к одной стороне четырёхугольника, то в первом случае две противоположные стороны парараллельны, а во втором – две другие. Следовательно, четырёхугольник – либо трапеция, либо параллелограмм.

Ответ

Параллелограмм или трапеция.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4698