Задача 111609

Темы:    [ Площадь сечения ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC , а все боковые грани имеют равные площади. Ребро SA равно 2, ребро SB равно . Через вершину B проведено сечение пирамиды перпендикулярно ребру SC . Найдите площадь этого сечения.

Решение

Поскольку боковые грани пирамиды равновелики, а их основания равны как стороны равностороннего треугольника, высоты боковых граней, проведённые из общей вершины S , также равны между собой. Значит, высота SH пирамиды проходит либо через центр вписанной, либо через центр одной из вневписанных окружностей основания ABC , а т.к. по условию задачи пирамида не является правильной ( SA>SB ), то высота проходит через центр H вневписанной окружности, причём эта окружность касается стороны BC и продолжений сторон AC и AB . Пусть r – радиус этой окружности, сторона основания ABC равна a , M – середина BC . Тогда

HM=, HA = HM+AM = a.
Опустим перпендикуляр SP из вершины пирамиды на прямую AB . По теореме о трёх перпендикулярах HP AB , значит, HP – радиус рассматриваемой вневписанной окружности. Из прямоугольных треугольников SHA , SBP и SHP находим, что
SH2 = SA2-HA2 = 4-3a2, SP2 = SB2-BP2 = 2- a2,

SH2 = SP2-HP2 = 2- a2-a2 = 2-a2.
Из уравнения 4-3a2= 2-a2 находим, что a=1 . Тогда SH = 2-a2=1 . Пусть BK – высота треугольника SBC со сторонами SB=SC= , BC=1 . Тогда
BK· SC = BC· SM, BK = = = .
Поскольку SB>BC , треугольник SBC – остроугольный, поэтому точка K лежит на отрезке SC . Из прямоугольного треугольника SKB находим, что
SK = = = .
Секущая плоскость проходит через точку B перпендикулярно прямой SC , поэтому она пересекает ребро SC в точке K , а т.к. угол ACS – тупой, то точка L пересечения секущей плоскости с прямой SA лежит на ребре SA . Таким образом, сечение, о котором говорится в условии задачи, – треугольник BKL . Пусть отрезки SM и BK пересекаются в точке E . Прямая BC перпендикулярна плоскости AMS , значит, LE BC , а т.к. LE SK , то прямая LE перпендикулярна плоскости SBC , поэтому LE KB , т.е. LE – высота треугольника сечения BKL . Обозначим ASM = α . По теореме косинусов
cos α = = = , tg α = .
Прямоугольные треугольники SKE и SMC подобны, поэтому
=, SE = = = .
По теореме о трёх перпендикулярах SE LE ( SK – перпендикуляр к секущей плоскости, KE – ортогональная проекция наклонной SE ). Из прямоугольного треугольника SEL находим, что
LE = SE· tg α = · = .
Следовательно,
S_{Δ BKL} = BK· LE = · · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8985