Задача 111610

Темы:    [ Площадь сечения ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания пирамиды равна b , а высота пирамиды равна b . Шар, вписанный в эту пирамиду, касается боковой грани SAD в точке K . Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через ребро AB и точку K .

Решение

Пусть SH – высота данной пирамиды, SM – апофема, лежащая в грани ASD . Тогда точка K касания шара с плоскостью этой грани лежит на отрезке SM , MK = MH = как отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки. Из прямоугольного треугольника SMH находим, что

SM = = = b.
Тогда
SK = SM-MK = b-=b, = 2,
значит, K – точка пересечения медиан треугольника ASD и прямая AK пересекает ребро SD в его середине P . Секущая плоскость проходит через прямую AB , параллельную плоскости CSD , и пересекает эту плоскость по прямой PQ (точка Q на ребре SC ), поэтому сечение APQB – трапеция с основаниями AB=b и PQ= . Пусть T – ортогональная проекция точки P на плоскость основания пирамиды, а PN – высота трапеции APQB . Тогда точка T лежит на диагонали BD квадрата ABCD , T – середина DH , а TN AD по теореме о трёх перпендикулярах, причём TN = AD = b и PT = SH = . Из прямоугольного треугольника PTN находим, что
PN = = = .
Следовательно,
S_APQB = (AB+PQ)· PN = (b+)· = .

Ответ

b2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8986