Задача 111621

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На дугах AB и BC окружности, описанной около треугольника ABC, выбраны соответственно точки K и L так, что прямые KL и AC параллельны.
Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABK и CBL равноудалены от середины дуги ABC.

Решение

  Пусть I₁ и I₂ – центры вписанных окружностей треугольников соответственно ABK и CBL, а прямые BI₁ и BI₂ вторично пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках P и Q соответственно. Так как лучи BP и BQ – биссектрисы вписанных углов ABK и CBL, то точки P и Q – середины равных дуг APK и CQL, значит,  AP = CQ.
  Вписанные углы KAP и KBP равны, а так как AI₁ и BI₁ – биссектрисы углов BAK и ABK, то
∠PAI₁ = ∠KAP + ∠KAI₁ = ∠KBP + ∠BAI₁ = ∠KBI₁ + ∠BAI₁ = ∠ABI₁ + ∠BAI₁ = ∠PI₁A  (PI₁A – внешний угол треугольника AI₁B). Следовательно, треугольник API₁ – равнобедренный,  AP = PI₁.  Аналогично  CQ = QI₂,  а так как  AP = CQ,  то  PI₁ = QI₂.
  Пусть R – середина дуги ABC. Тогда  RP = RQ.  ∠I₁PR = ∠BPR = ∠BQR = ∠I₂QR,  значит, треугольники I₁PR и I₂QR равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  I₁R = I₂R.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4166