Задача 111626

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Семиугольник, три угла которого равны по 120^o , вписан в окружность. Могут ли все его стороны быть различными по длине?

Решение

Пусть в данном семиугольнике есть два соседних угла по 120^o , например, углы при вершинах A и B (рис.1). Тогда

GAB = ABC = 360^o-240^o=120^o,
поэтому BOG = AOC = 120^o , где O – центр окружности. Значит, AOG = BOC . Следовательно, AG = BC . Если же углы по 120^o расположены не рядом, то без ограничения общности можно считать, что это углы при вершинах A , C и E (рис.2). Тогда
BOG = BOD = DOF = 120^o, FOG = 360^o - ( BOG + BOD + DOF)= 360^o-3· 120^o = 0^o,
что невозможно.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4171