Задача 111627

Темы:    [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вписанные четырехугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, M – точка пересечения его диагоналей, O₁ и O₂ – центры вписанных окружностей треугольников ABM и CMD соответственно, K – середина дуги AD, не содержащей точек B и C,  ∠O₁KO₂ = 60°,  KO₁ = 10.  Найдите O₁O₂.

Решение

  Точка K – середина дуги AD, поэтому BK – биссектриса вписанного угла ABD, значит, точка O₁ лежит на отрезке BK. Аналогично точка O₂ лежит на отрезке CK. Лучи MO₁ и MO₂ – биссектрисы вертикальных углов AMB и CMD, значит, точка M лежит на отрезке O₁O₂ и  ∠BMO₁ = ∠DMO₂ = ∠CMO₂.
  Вписанные углы ABD и ACD равны. Значит,  ∠MBO₁ = ∠MCO₂.
  По теореме о внешнем угле треугольника  ∠KO₁O₂ = ∠MBO₁ + ∠BMO₁ = ∠MCO₂ + ∠CMO₂ = ∠KO₂O₁,  поэтому треугольник O₁KO₂ – равнобедренный, а так как один из его углов равен 60°, то этот треугольник – равносторонний. Следовательно,  O₁O₂ = KO₁ = 10.

Ответ

10.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4172