Задача 111641

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Площадь четырехугольника ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Сергеев П.В.

Египтяне вычисляли площадь выпуклого четырёхугольника по формуле (a+c)(b+d)/4 , где a , b , c , d  — длины сторон в порядке обхода. Найдите все четырёхугольники, для которых эта формула верна.

Решение

Раскроем скобки в "египетской" формуле. Получим

S=(ac+ad+bc+bd).



С другой стороны, "разрезав" четырёхугольник на два треугольника по диагонали AC , и вычислив площади полученных треугольников, мы получим
S= (ab sin B +cd sin D).
А разрезав по другой диагонали, получаем
S= (ad sin A + bc sin C).
То есть



Приравняв этот результат и "египетский", получаем
(ac+ad+bc+bd) =(ab sin B +cd sin D + ad sin A + bc sin C)
Так как синус всегда не больше единицы, то равенство достигается только тогда, когда синусы всех четырех углов равны 1. Поскольку углы выпуклого четырёхугольника находятся между 0^o и 180^o , получаем: A= B= C= D=90^o , т. е. четырёхугольник является прямоугольником.



Заметим (это не входит в условие задачи), что и в том случае, когда четырёхугольник ABCD  — невыпуклый, его площадь будет меньше, чем площадь соответствующего выпуклого четырёхугольника ( A'BCD , у которого "невыпуклая часть" развёрнута наружу), и поэтому S(A'BCD)<S(ABCD) (ac+ad+bc+bd) . Таким образом, пользуясь своей формулой в случае, когда четырехугольник не является прямоугольником, египтяне всегда завышали значение площади (и для выпуклых и для невыпуклых четырехугольников).
Комментарий. При решении этой задачи можно и не использовать понятие синуса. Действительно, рассмотрим треугольник, построенный на сторонах a и b . Пусть h — высота, опущенная на сторону a . Тогда h b , и площадь треугольника равна ah ab . Равенство выполнено в точности тогда, когда b=h , т. е. угол между сторонами a и b — прямой. Аналогичные соотношения верны для треугольников, построенных на других парах смежных сторон. Сложив их, получаем нужный результат.

Ответ

Формула верна для прямоугольников и только для них.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2008
задача
Номер	6