Задача 111666

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены равнобедренные подобные треугольники AB₁C и AC₁B внешним образом и BA₁C внутренним образом. Докажите, что AB₁A₁C₁ – параллелограмм.

Решение

  Треугольник A₁BC₁ подобен треугольнику ABC, так как  BC₁ : AB = BA₁ : BC  и  ∠A₁BC₁ = ∠ABA₁ + ∠ABC₁ = ABA₁ + CBA₁ = ∠B.
  Аналогично подобны треугольники B₁A₁C и ABC. Значит, треугольники A₁BC₁  и  B₁A₁C подобны, а так как их соответствующие стороны BA₁ и CA₁ равны, то эти треугольники равны. Поэтому  A₁B₁ = BC₁ = AC₁  и  A₁C₁ = CB₁ = AB₁,  то есть противоположные стороны четырёхугольника AB₁A₁C₁ попарно равны. Следовательно, он – параллелограмм.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4184