Задача 111667

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены прямоугольные треугольники ABC₁ и AB₁C, причём  ∠C₁ = ∠B₁ = 90°,
∠ABC₁ = ∠ACB₁ = φ;  M – середина BC. Докажите, что MB₁ = MC₁  и  ∠B₁MC₁ = 2φ.

Решение

  Пусть P и Q – середины сторон AB и AC соответственно. Тогда APMQ – параллелограмм. B₁Q и C₁P – медианы прямоугольных треугольников AB₁C и ABC₁, поэтому  ∠B₁Q = ∠AC = AQ = PM,  MQ = AP = ½ AB = C₁P,  ∠MQB₁ = ∠MQA + ∠AQB₁ = ∠MQA + 2φ,
∠C₁PM = ∠APM + ∠APC₁ = ∠APM + 2φ = ∠MQA + 2φ = ∠MQB₁.
  Значит, треугольники MQB₁ и C₁PM равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  MB₁ = MC₁. Обозначим ∠A = α.  Тогда
∠B₁MC₁ = ∠PMQ – (∠QMB₁ + PMC₁) = α – (∠QMB₁ + ∠MB₁Q) = α – (180° – ∠MQB₁) = α – 180° + ∠MQB₁ = α – 180° + (180° – α + 2φ) = 2φ.

  Случай, когда  ∠C₁PB + ∠BPM > 180°,  разбирается аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4185