Задача 111674

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажите, что произведение этих чисел предвтавляет собой точный квадрат.

Решение

Докажем сначала следующее утверждение: если S1 , S2 , S3 и S4 — площади последовательных треугольников, на которые диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник, то S1· S3=S2· S4 . Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P . Обозначим

S_{Δ ABP}=S1, S_{Δ BCP}=S2, S_{Δ CPD}=S3, S_{Δ ADP}=S4.
У треугольников ABP и BCP общая высота, проведённая из вершины B , поэтому = . Аналогично, = . Поэтому = , или = . Следовательно, S1· S3=S2· S4 . Утверждение доказано. Перейдём к нашей задаче. Так как S1· S3=S2· S4 , то
S1S2S3S4= S1S3· S2S4= S1S3· S1S3= (S1S3)2,
причём S1S3 — целое число.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4192