Задача 111675

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P , причём S_{Δ ABP}2+S_{Δ CDP}2= S_{Δ BCP}2+S_{Δ ADP}2 . Докажите, что P — середина одной из диагоналей.

Решение

Докажем сначала следующее утверждение: если S1 , S2 , S3 и S4 — площади последовательных треугольников, на которые диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник, то S1· S3=S2· S4 . Обозначим

S_{Δ ABP}=S1, S_{Δ BCP}=S2, S_{Δ CPD}=S3, S_{Δ ADP}=S4.
У треугольников ABP и BCP общая высота, проведённая из вершины B , поэтому = . Аналогично, = . Поэтому = , или = . Следовательно, S1· S3=S2· S4 . Утверждение доказано. Перейдём к нашей задаче. Из условия и доказанного утверждения следует, что

Умножим второе из этих равенств на 2 и вычтем результат из первого. Получим, что (S1-S3)2=(S2-S4)2 . Значит, либо S1-S3=S2-S4 , либо S1-S3=S4-S2 . В первом из этих случаев S1+S4=S2+S3 , т.е. S_{Δ ABD} = S_{Δ BCD} . Пусть M и N — основания перпендикуляров, опущенных из точек соответственно A и C на диагональ BD . У треугольников ABD и BCD общее основание BD , а т.к. они равновелики, то равны их высоты, опущенные на это основание, т.е. AM=CN . Если точки M и N совпадают, то всё доказано. Если же M и N различны, то прямоугольные треугольники AMP и CNP равны по катету и противолежащему острому углу. Следовательно, AP=CP . Во втором случае аналогично докажем, что P — середина диагонали BD .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4193