Задача 111675

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$, причём $S^2_{\Delta ABP} + S^2_{\Delta CDP} = S^2_{\Delta BCP} + S^2_{\Delta ADP}$. Докажите, что $P$ — середина одной из диагоналей.

Решение

Докажем сначала следующее утверждение: если $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$ — площади последовательных треугольников, на которые диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник, то $S_1 \cdot S_3 = \S_2 \cdot S_4$. Обозначим $S_{\Delta ABP} = S_1$, $S_{\Delta BCP} = S_2$, $S_{\Delta CDP} = S_3$, $S_{\Delta ADP} = S_4$.

У треугольников $ABP$ и $BCP$ общая высота, проведённая из вершины $B$, поэтому $\frac{S_{\Delta ABP}}{S_{\Delta BCP}} = \frac{AP}{CP}$. Аналогично, $\frac{S_{\Delta ADP}}{S_{\Delta CDP}} = \frac{AP}{CP}$. Поэтому $\frac{S_{\Delta ABP}}{S_{\Delta BCP}} = \frac{S_{\Delta ADP}}{S_{\Delta CDP}}$, или $\frac{S_1}{S_2} = \frac{S_4}{S_3}$. Следовательно, $S_1 \cdot S_3 = S_2 \cdot S_4$. Утверждение доказано.

Перейдём к нашей задаче. Из условия и доказанного утверждения следует, что

Умножим второе из этих равенств на 2 и вычтем результат из первого. Получим, что $(S_1-S_3)^2 = (S_2-S_4)^2$. Значит, либо $S_1-S_3=S_2-S_4$, либо $S_1-S_3=S_4-S_2$. В первом из этих случаев $S_1+S_4=S_2+S_3$, т.е. $S_{\Delta ABD} = S_{\Delta BCD}$. Пусть $M$ и $N$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек соответственно $A$ и $C$ на диагональ $BD$. У треугольников $ABD$ и $BCD$ общее основание $BD$, а т.к. они равновелики, то равны их высоты, опущенные на это основание, т.е. $AM=CN$. Если точки $M$ и $N$ совпадают, то всё доказано. Если же $M$ и $N$ различны, то прямоугольные треугольники $AMP$ и $CNP$ равны по катету и противолежащему острому углу. Следовательно, $AP=CP$. Во втором случае аналогично докажем, что $P$ — середина диагонали $BD$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4193