Задача 111686

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Слободник С.Г.

Даны положительные числа  a₁, a₂, ..., a_n.  Известно, что  a₁ + a₂ + ... + a_n ≤ ½.  Докажите, что  (1 + a₁)(1 + a₂)...(1 + a_n) < 2.

Решение 1

  Раскрыв в левой части скобки, получим сумму  1 + (a₁ + ... + a_n) + (a₁a₂ + ... + a_n–1a_n) + (a₁a₂a₃ + ... + a_n–2a_n–1a_n) + ... + a₁a₂...a_n.  Сумма чисел во второй скобке не превосходит  (a₁ + ... + a_n)²,  сумма в третьей скобке не превосходит  (a₁ + ... + a_n)³,  и так далее. Значит, всё произведение не превосходит  1 + ½ + ¼ + ⅛ + ... + ¹/_2ⁿ = 2 – ¹/_2ⁿ < 2.

Решение 2

  Индукцией по k докажем, что для всех k от 1 до n  (1 + a₁)...(1 + a_k) < 1 + 2(a₁ + ... + a_k).
  База:  1 + a₁ < 1 + 2a₁.
  Шаг индукции. Пусть  (1 + a₁)...(1 + a_k) < 1 + 2(a₁ + ... + a_k).  Тогда
(1 + a₁)...(1 + a_k)(1 + a_k+1) < (1 + 2(a₁ + ... + a_k))(1 + a_k+1) ≤ 1 + 2(a₁ + ... + a_k) + a_k+1(1 + 2·½) = 1 + 2(a₁ + ... + a_k + a_k+1).

Замечания

1. Для знатоков. Можно доказать, что при фиксированной сумме  a₁ + a₂ + ... + a_n  выражение  (1 + a₁)...(1 + a_n)  максимально при  a₁ = ... = a_n.  Следовательно,  

2. 8 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2008/2009
Номер	30
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	5