Задача 111696

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вспомогательная окружность ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Из точки M окружности, описанной около прямоугольника ABCD, опустили перпендикуляры MQ и MP на две его противоположные стороны и перпендикуляры MR и MT на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежит диагонали прямоугольника ABCD.

Решение

  Пусть точки расположены как на рисунке.

  ∠MRB = ∠MBC = ∠MDC = ∠DTQ = 90° – ∠RTQ,  следовательно,  RP ⊥ QT.
  Пусть N – основание перпендикуляра, опущенного из точки M на диагональ AC. Точки N и R лежат на окружности с диаметром AM. Значит,
∠MRN = ∠MAN = ∠MAC = ∠MBC = ∠MRP,  то есть точка N лежит на прямой RP. Аналогично N лежит на прямой TQ.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2890