Задача 111702

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекают описанную окружность треугольника в точках A1 и B1 . Вписанная окружность касается сторон AC и BC в точках A2 и B2 . Докажите, что A1B1 || A2B2 .

Решение

Обозначим углы треугольника ABC через α , β и γ соответственно. Пусть O — центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис) треугольника ABC . Тогда CO — биссектриса угла ACB . Пусть прямая CO пересекает отрезок A1B1 в точке M , а описанную окружность треугольника ABC — в точке C1 . Тогда

B1A1C1 = AA1B1+ AA1C1 = ABB1+ ACC1=+ ,

CC1A1 = CAA1 = .
По теореме о внешнем угле треугольника
CMB1 = B1A1C1 + A1C1C = (+ )+=90^o,
т.е. A1B1 CO . С другой стороны, в равнобедренном треугольнике A2CB2 биссектриса CO угла при вершине C перпендикулярна основанию A2B2 , т.е. A2B2 CO . Следовательно, A1B1 || A2B2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2896