ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111711
Темы:    [ Концентрические окружности ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны две концентрические окружности с центром в точке A . Пусть B  — произвольная точка одной из этих окружностей, C  — другой. Для каждого треугольника ABC рассмотрим две окружности одинакового радиуса, касающиеся друг друга в точке K , причем одна окружность касается прямой AB в точке B , а другая — прямой AC в точке C . Найдите ГМТ K .

Решение

Пусть M, N  — центры касающихся окружностей. Тогда K  — середина отрезка MN , ABM = ACN = 90o , и BM = MK = KN = NC . Так как AK  — медиана треугольника AMN , AK2 = = (AB2+AC2)/2  — не зависит от выбора точек B, C . Следовательно, K лежит на окружности с центром A . Вращая треугольник ABC вокруг A , можно получить любую точку этой окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2008
тур
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .