Задача 111717

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Имеется треугольник ABC. На луче BA отложим точку A₁, так что отрезок BA₁ равен BC. На луче CA отложим точку A₂, так что отрезок C₂ равен BC. Аналогично построим точки B₁, B₂ и C₁, C₂. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B ₂, C₁C₂ параллельны.

Решение

Пусть O, I – центры описанной и вписанной окружностей треугольника. Так как BI – биссектриса угла B равнобедренного треугольника A₁BC,
A₁I = IC.  Аналогично  A₂I = IB.  Следовательно,  A₁I² – A₂I² = IC² – IB² = (p – c)² – (p – b)² = a(b – c).  С другой стороны, если B₀, C₀ – середины AC и AB, то     Следовательно, прямые A₁A₂ и OI перпендикулярны (см. задачу 53602). Аналогично получаем, что прямая OI перпендикулярна двум другим прямым.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2008
тур
задача
Номер	12