В выпуклом пятиугольнике проведены все диагонали. Каждая вершина и каждая точка пересечения диагоналей окрашены в синий цвет. Вася хочет перекрасить эти синие точки в красный цвет. За одну операцию ему разрешается поменять цвет всех окрашенных точек, принадлежащих либо одной из сторон либо одной из диагоналей на противоположный (синие точки становятся красными, а красные – синими). Сможет ли он добиться желаемого, выполнив какое-то количество описанных операций?

   Решение

Четыре натуральных числа таковы, что квадрат суммы любых двух из них делится на произведение двух оставшихся.
Докажите, что по крайней мере три из этих чисел равны между собой.

   Решение

В сундуке лежали два колпака белого цвета и три черного. В темную комнату завели трех мудрецов и надели на них какие-то колпаки из сундука. Потом вывели в другую комнату. Они не видят, какого цвета колпак на них, но видят колпакки других. Через некоторое время один из них догадался, какого цвета на нем колпак. Как? Какого цвета был колпак?

   Решение

По кругу расставлено несколько коробочек. В каждой из них может лежать один или несколько шариков (или она может быть пустой). За один ход разрешается взять все шарики из любой коробочки и разложить их, двигаясь по часовой стрелке, начиная со следующей коробочки, кладя в каждую коробочку по одному шарику.
  а) Докажите, что если на каждом следующем ходе шарики берут из той коробочки, в которую попал последний шарик на предыдущем ходе, то в какой-то момент повторится начальное размещение шариков.
  б) Докажите, что за несколько ходов из любого начального размещения шариков по коробочкам можно получить любое другое.

   Решение

Дан треугольник ABC и линейка, на которой отмечены два отрезка, равные AC и BC . Пользуясь только этой линейкой, найдите центр вписанной окружности треугольника, образованного средними линиями ABC .

   Решение

Темы:    [ Необычные построения (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC и линейка, на которой отмечены два отрезка, равные AC и BC . Пользуясь только этой линейкой, найдите центр вписанной окружности треугольника, образованного средними линиями ABC .

Решение

Отложим на продолжении стороны AB за точку B и на продолжении стороны AC за точку C отрезки BC₁=CB₁=BC . Пусть A'  — точка пересечения BB₁ и CC₁ . Тогда прямая AA' проходит через искомую точку. Действительно, так как треугольники BCB₁ и CBC₁ равнобедренные, прямые BB₁ и CC₁ параллельны биссектрисам углов C и B . Поэтому при гомотетии с центром A и коэффициентом 1/2 эти прямые перейдут в биссектрисы углов серединного треугольника, а точка A'  — в искомый центр. Аналогично, используя второй отмеченный на линейке отрезок, построим прямую, проходящую через B и исходную точку.

Источники и прецеденты использования