Задача 111724

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Параллелограммы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан параллелограмм ABCD, в котором  AB = a,  AD = b.  Первая окружность имеет центр в вершине A и проходит через D, вторая имеет центр в C и проходит через D. Произвольная окружность с центром B пересекает первую окружность в точках M₁, N₁, а вторую – в точках M₂, N₂. Чему равно отношение  M₁N₁ : M₂N₂?

Решение

Точки M₁, N₁ симметричны относительно прямой AB, так что M₁N₁ равно удвоенному расстоянию от M₁ до AB. Аналогично M₂N₂ равно удвоенному расстоянию от M₂ до BC. Кроме того,  CM₂ = CD = AB,  AM₁ = AD = BC,  BM₁ = BM₂,  и значит, треугольники ABM₁ и CM₂B равны. Поэтому искомое отношение, равное отношению высот этих треугольников, обратно отношению соответствующих сторон, то есть равно  b : a.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2008
тур
задача
Номер	19