|
|
 |
Условие
а) Все вершины пирамиды лежат на гранях куба, но не на
его ребрах, причем на каждой грани лежит хотя бы одна вершина.
Какое наибольшее количество вершин может иметь пирамида?
б) Все вершины пирамиды лежат в плоскостях граней куба, но не на
прямых, содержащих его ребра, причем в плоскости каждой грани
лежит хотя бы одна вершина. Какое наибольшее количество вершин
может иметь пирамида?
Решение
а) Сечение куба плоскостью основания пирамиды пересекает все его
грани и, значит, является выпуклым шестиугольником. Вершины основания лежат на
сторонах этого шестиугольника, но не в его вершинах. Нетрудно видеть, что, если
на какой-то стороне лежит больше двух вершин основания, то соединить их
несамопересекающейся ломаной, лежащей внутри шестиугольника, невозможно. Поэтому
основание имеет не более 12 вершин, а пирамида — не более 13. Существование
пирамиды с 13 вершинами очевидно.
б) В этом случае вершины основания могут лежат на прямых, содержащих стороны
шестиугольника, и их количество может быть произвольно большим.
Ответ
а)13. б) Произвольно большое.
