|
|
 |
Условие
Пусть h — наименьшая высота тетраэдра, d — наименьшее
расстояние между его противоположными ребрами. При каких t
возможно неравенство d>th ?
Решение
При t<3/2 . Пусть ABC — грань наибольшей площади тетраэдра ABCD . Тогда его объем равен V=SABCh/3 . С другой стороны он равен половине произведения длин противоположных ребер на расстояние и синус угла между ними. Пусть A'B'C' — треугольник, средними линиями которого являются стороны ABC . Тогда, например, SA'B'D=AB· CD sinϕ , где ϕ — угол между AB и CD . Поскольку сумма площадей боковых граней тетраэдра больше площади его основания, площадь треугольника A'B'C' не превосходит утроенной максимальной площади треугольников A'B'D , B'C'D , C'A'D , т.е. d<3h/2 . Усилить это неравенство нельзя, так как если взять правильную пирамиду и устремить ее высоту к нулю, отношение d/h будет стремиться к 3/2 .
