ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111729
Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]
[ Объем помогает решить задачу ]
[ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ]
Сложность: 6-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть h  — наименьшая высота тетраэдра, d  — наименьшее расстояние между его противоположными ребрами. При каких t возможно неравенство d>th ?

Решение

При t<3/2 . Пусть ABC  — грань наибольшей площади тетраэдра ABCD . Тогда его объем равен V=SABCh/3 . С другой стороны он равен половине произведения длин противоположных ребер на расстояние и синус угла между ними. Пусть A'B'C'  — треугольник, средними линиями которого являются стороны ABC . Тогда, например, SA'B'D=AB· CD sinϕ , где ϕ  — угол между AB и CD . Поскольку сумма площадей боковых граней тетраэдра больше площади его основания, площадь треугольника A'B'C' не превосходит утроенной максимальной площади треугольников A'B'D , B'C'D , C'A'D , т.е. d<3h/2 . Усилить это неравенство нельзя, так как если взять правильную пирамиду и устремить ее высоту к нулю, отношение d/h будет стремиться к 3/2 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2008
тур
задача
Номер 24

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .