Задача 111764

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Бадзян А.И.

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка M так, что точка пересечения медиан треугольника ABM лежит на описанной окружности треугольника ACM , а точка пересечения медиан треугольника ACM лежит на описанной окружности треугольника ABM . Докажите, что медианы треугольников ABM и ACM из вершины M равны.

Решение

Обозначим середины сторон AB и AC через C₁ и B₁ соответственно, а точки пересечения медиан треугольников ABM , ACM – через G_b , G_c соответственно (см. рис.) . Тогда AG_cB₁ = 180^o- AG_cM = ABM , так как AG_cMB – вписанный четырехугольник; далее, ABM = AC₁B₁ , так как C₁B₁|| BC . Значит, AG_cB₁ = AC₁B₁ . Следовательно, четырехугольник AC₁G_cB₁ вписан, то есть точка G_c лежит на описанной окружности Δ AB₁C₁ . Аналогично, G_b лежит на описанной окружности Δ AB₁C₁ .

Таким образом, точки A , C₁ , G_b , G_c , B₁ лежат на одной окружности. Далее, G_cG_b|| B₁C₁ , т.к. =2= . Получаем, что C₁B₁G_cG_b – вписанная трапеция, значит, G_bC₁B₁= G_cB₁C₁ , т.е. MB₁=MC₁ , что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	07.4.11.3