|
|
 |
Условие
При каких натуральных n найдутся такие целые a, b, c, что их сумма равна нулю, а число an + bn + cn – простое?
Решение
Если n чётно, то 1n + (–1)n + 0n = 2 – простое число.
Докажем, что при нечётном n число A = an + bn + cn не является простым.
Первый способ. При целом x, xn – x делится на x(x² – 1) = x(x – 1)(x + 1), а это число делится на 6 (см. задачу 30359). Следовательно,
A = (an – a) + (bn – b) + (cn – c) делится на 6.
Второй способ. Пусть A – простое, тогда n > 1 и a, b, c отличны от 0.
Поскольку bn + cn делится на b + c = – a, число A делится на a. Аналогично A делится на b и на c. Отсюда следует, что каждое из чисел a, b, c равно одному из чисел ±1, ±A. Так как среди чисел a, b, c нет двух противоположных (иначе третье было бы нулём), то
среди них найдутся два равных числа. Пусть они равны d, тогда третье число равно – 2d, а A = 2dn – 2ndn – число, делящееся на 2n – 2 > 2. Противоречие.
Ответ
При всех чётных n.
