Задача 111769
|
|
 |
Условие
Для положительных чисел x1, x2, ..., xn докажите неравенство
Решение 1
Возведя в квадрат, перепишем неравенство в виде
Обозначим
Тогда y1y2...yn+1 = S и
По неравенству Коши
Решение 2
Применим индукцию. При n = 1 неравенство имеет вид – частный случай неравенства Коши.
Шаг индукции. По предположению индукции для n чисел
верно неравенство
Домножив на (1 + x1)n+1, получаем
Осталось показать, что (n + 1)n+1(1 + x)n+2 ≥ (n + 2)n+2x для любого положительного x. По неравенству Коши
Возводя в (n+2)-ю степень, получаем требуемое.
