Задача 111778
|
|
 |
Условие
Петя придумал 1004 приведённых квадратных трёхчлена f1, ..., f1004, среди корней которых встречаются все целые числа от 0 до 2007. Вася рассматривает всевозможные уравнения fi = fj (i ≠ j), и за каждый найденный у них корень Петя платит Васе по рублю. Каков наименьший возможный доход Васи?
Решение
Положим f1(x) = x(x – 2007), f2(x) = (x – 1)(x – 2006), f1004(x) = (x – 1003)(x – 1004). Все эти трёхчлены попарно различны, потому что у них разные корни, но коэффициент при x у каждого из них равен –2007. Значит, разность каждых двух из них равна константе, отличной от 0, поэтому ни одно из уравнений fn(x) = fm(x) не имеет решений.
Ответ
0.
