ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111778
Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Петя придумал 1004 приведённых квадратных трёхчлена  f1, ...,  f1004,  среди корней которых встречаются все целые числа от 0 до 2007. Вася рассматривает всевозможные уравнения  fi = fj  (i ≠ j),  и за каждый найденный у них корень Петя платит Васе по рублю. Каков наименьший возможный доход Васи?


Решение

Положим  f1(x) = x(x – 2007),   f2(x) = (x – 1)(x – 2006),   f1004(x) = (x – 1003)(x – 1004).  Все эти трёхчлены попарно различны, потому что у них разные корни, но коэффициент при x у каждого из них равен –2007. Значит, разность каждых двух из них равна константе, отличной от 0, поэтому ни одно из уравнений   fn(x) = fm(x)  не имеет решений.


Ответ

0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 07.4.9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .