Задача 111781

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Неравенства с площадями ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

У двух треугольников равны наибольшие стороны и равны наименьшие углы. Строится новый треугольник со сторонами, равными суммам соответствующих сторон данных треугольников (складываются наибольшие стороны двух треугольников, средние по длине стороны и наименьшие стороны). Докажите, что площадь нового треугольника не меньше удвоенной суммы площадей исходных.

Решение

Пусть a₁ b₁ c , a₂ b₂ c – длины сторон данных треугольников, α – их общий наименьший угол, α₁ – наименьший угол в построенном треугольнике со сторонами a₁ + a₂ , b₁ + b₂ , c + c . В этом треугольнике a₁ + a₂ – наименьшая сторона, поэтому угол α₁ лежит против нее и является острым. Рассмотрим треугольник AML с углом α при вершине A и боковыми сторонами AM = b₁ + b₂ , AL = c + c (рисунок). Покажем, что α₁α ; для этого достаточно доказать, что ML a₁+a₂ . Пусть B и C – точки на сторонах AL и AM соответственно такие, что AC = b₁ , AB=c . Выберем точку K так, что BCKL – параллелограмм. Тогда треугольники ABC и CKM соответственно равны исходным треугольикам, поэтому из треугольника MKL получаем MK = a₂ , KL = a₁ , откуда по неравенству треугольника ML a₁ + a₂ , что и требовалось. Отсюда S = ( b₁ + b₂)(c + c) sin α₁ (b₁ + b₂)c sin α 2(b₁ c sin α + b₂ c sin α) = 2(S₁ + S₂) , что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
задача
Номер	07.4.9.4