|
|
 |
Условие
В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны.
Докажите, что все восемь отрезков равны.
Решение
Предположим, что восьмой отрезок не равен остальным, и это отрезок CK, где ABCD – данный четырёхугольник, а точки K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно (см. рис.). Тогда в равнобедренных треугольниках ALD и BNC отрезок LN является медианой, а поэтому и высотой. Далее, прямоугольные треугольники ALN и BNL равны по гипотенузе и катету, отсюда AN = BL, значит, ANLB – прямоугольник. Аналогично DNLC – прямоугольник, и, значит, ABCD – прямоугольник. Из доказанного вытекает, что прямоугольные треугольники DKA и CKB равны по двум катетам, отсюда CK = DK вопреки нашему предположению.
Замечания
1. Можно завершить решение по-другому. После доказательства того, что LN – серединный перпендикуляр к AD и BC, ясно, что четырёхугольник симметричен относительно LN; тогда все восемь рассматриваемых отрезков разбиваются на пары симметричных, и количество равных отрезков должно быть чётно.
2. Из условия вытекает, что данный четырёхугольник – квадрат.
3. Утверждение задачи можно усилить: равенство всех восьми отрезков следует из равенства пяти из них.
