Условие
Петя задумал натуральное число и для каждой пары его цифр выписал на доску
их разность. После этого он стер некоторые разности, и на доске остались числа 2, 0, 0, 7.
Какое наименьшее число мог задумать Петя?
Решение
Ответ: 11138.
Действительно, число 11138 могло быть задумано:
2
=3
-1
,
0
=1
-1
,
7
=8
-1
.
Предположим, что задумано число
N<11138
.
Поскольку выписаны разности 2 и 7, то различных цифр в числе
N не менее трех.
Так как выписаны два нуля, то среди цифр найдутся либо три одинаковых, либо две пары равных.
Так как
N<11138
, то в числе
N ровно пять цифр, среди которых
ровно три различные цифры, и первая цифра равна 1. Если в записи
N встречаются 0, 1 и
a>1
,
то среди разностей цифр встречаются лишь числа
0
,
1
,
a ,
a-1
, что невозможно.
Иначе в записи
N нет нулей, и
N=
, где
b=2
или
b=3
(т.к.
N<11138
).
Тогда
c
1
+7
=8
, откуда
b
3
.
Но если
b=2
, то среди разностей цифр встречаются лишь числа
0
,
1
,
c-1
,
c-2
. Противоречие.
Ответ
11138
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
|
год |
|
Год |
2007 |
|
Этап |
|
Вариант |
4 |
|
Класс |
|
Класс |
8 |
|
задача |
|
Номер |
07.4.8.2 |
