ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111788
Темы:    [ Простые числа и их свойства ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие простые числа p1, p2, ..., p2007, что    делится на p2,    делится на p3, ...,    делится на p1?


Решение

  Предположим, что такие числа существуют. Пусть одно из чисел равно 2, скажем,  p1 = 2.  Тогда последовательно получаем, что  p2 = 3,  p3 = 2,
p4 = 3,  p5 = 2,  ...,  p2007 = 2,  p1 = 3.  Противоречие.
  Пусть все числа – нечётные простые, и p1 – наибольшее из них. Пусть  p2007 = qp1.  Тогда  q² – 1 = 2·2·q–1/2·q+1/2,  где все сомножители целые и не превосходят  q+1/2 < q ≤ p1.  Но это противоречит с тому, что  q2 – 1  делится на p1.


Ответ

Не существуют.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 07.4.8.3
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 07.4.9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .