ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111789
Темы:    [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Инварианты ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 4-
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На шахматной доске расставлены во всех клетках 32 белых и 32 черных пешки. Пешка может бить пешки противоположного цвета, делая ход по диагонали на одну клетку и становясь на место взятой пешки (белые пешки могут бить только вправо-вверх и влево-вверх, а чёрные – только влево-вниз и вправо-вниз). Другим образом пешки ходить не могут. Какое наименьшее количество пешек может остаться на доске?


Решение

Заметим, что пешка, стоявшая на чёрной клетке, все время будет перемещаться только по чёрным клеткам. Тогда после каждого хода (по чёрным клеткам) на чёрных клетках всегда будет оставаться хотя бы одна пешка – та, которая делала ход. Аналогично хотя бы одна пешка будет оставаться на белых клетках, и всего останется не меньше двух пешек. На рисунках показано, как расставить пешки на белых клетках и как ходить ими так, чтобы осталась только одна. Расстановка и действия на чёрных клетках аналогичны.


Ответ

Две пешки.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 07.4.8.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .