Условие
Среди 11 внешне одинаковых монет 10 настоящих,
весящих по 20 г, и одна фальшивая, весящая 21 г.
Имеются чашечные весы, которые оказываются в равновесии,
если груз на правой их чашке ровно вдвое тяжелее, чем на левой.
(Если груз на правой чашке меньше, чем удвоенный груз на левой, то
перевешивает левая чашка, если больше, то правая.)
Как за три взвешивания на этих весах найти фальшивую монету?
Решение
Приведем один из возможных способов.
Сначала покажем, как за два взвешивания найти фальшивую монету среди пяти,
четыре из которых настоящие. Положим на левую чашку одну монету, а на правую – две.
Если перевесила левая чашка, то фальшивая монета на ней.
Если перевесила правая чашка, то фальшивая монета – одна из двух на правой чашке;
если весы в равновесии, фальшивая монета – одна из двух оставшихся.
В любом случае у нас две ``подозреваемых'' монеты,
и известны три настоящих.
Положим на левую чашу одну из ``подозреваемых'', а на правую – две настоящих.
Если левая чашка перевесила, то фальшивая монета на ней;
если весы в равновесии, то фальшивая – оставшаяся из двух ``подозреваемых''.
Пусть теперь у нас 11 монет.
Положим на правую чашку весов любые 4 из них, а на левую – любые две.
Если весы в равновесии, фальшивая монета – среди пяти не лежащих на весах,
и мы находим ее за оставшиеся два взвешивания. Если перевесила одна из чашек –
фальшивая монета на ней, и мы сузили круг ``подозреваемых'' монет до двух или четырех.
Добавляя к ним соответственно три или одну монету с другой чашки, снова сводим задачу
к поиску одной фальшивой монеты среди пяти за два взвешивания.
На самом деле, за три взвешивания на таких весах можно выявить
фальшивую монету даже из 21.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
|
год |
|
Год |
2007 |
|
Этап |
|
Вариант |
4 |
|
Класс |
|
Класс |
8 |
|
задача |
|
Номер |
07.4.8.5 |
|
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
|
год |
|
Год |
2007 |
|
Этап |
|
Вариант |
4 |
|
Класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
07.4.9.5 |
