ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111826
Темы:    [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Тригонометрические неравенства ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при k>10 в произведении

f(x) = cos x cos 2x cos 3x .. cos 2k x

можно заменить один cos на sin так, что получится функция f1(x) , удовлетворяющая при всех действительных x неравенству |f1(x)| .

Решение

Заметим, что

| sin 3x| = |3 sin x -4 sin 3 x| = |3 - 4 sin2 x|,| sin x| 3| sin x|.

Поэтому для функции f1 , полученной из f заменой cos 3x на sin 3x , выполняется неравенство
|f1(x)| 3| sin x|,| cos x|,| cos 2x|,| cos 4x|,| cos8x|..| cos 2kx|.

(Мы опустили все множители | cos nx| , в которых n>3 и не является степенью двойки; каждый из этих множителей не превосходит1.) Утверждение задачи теперь следует из тождества
sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x .. cos 2kx = 2-k-1 sin 2k+1x.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 07.5.11.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .