Задача 111826

Темы:    [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Тригонометрические неравенства ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Докажите, что при k>10 в произведении

f(x) = cos x cos 2x cos 3x .. cos 2^k x
можно заменить один cos на sin так, что получится функция f₁(x) , удовлетворяющая при всех действительных x неравенству |f₁(x)| .

Решение

Заметим, что

| sin 3x| = |3 sin x -4 sin ³ x| = |3 - 4 sin² x|,| sin x| 3| sin x|.
Поэтому для функции f₁ , полученной из f заменой cos 3x на sin 3x , выполняется неравенство
|f₁(x)| 3| sin x|,| cos x|,| cos 2x|,| cos 4x|,| cos8x|..| cos 2^kx|.
(Мы опустили все множители | cos nx| , в которых n>3 и не является степенью двойки; каждый из этих множителей не превосходит1.) Утверждение задачи теперь следует из тождества
sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x .. cos 2^kx = 2^-k-1 sin 2^k+1x.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	07.5.11.1