ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111842
Темы:    [ Итерации ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Приведённые квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что уравнения  f(g(x)) = 0  и  g(f(x)) = 0  не имеют вещественных корней.
Докажите, что хотя бы одно из уравнений  f(f(x)) = 0  и  g(g(x)) = 0  тоже не имеет вещественных корней.


Решение

  Не умаляя общности можно считать, что минимальное значение  f(x) не превосходит минимального значения g(x). Если трёхчлен g(x) не имеет корней, то  g(x) > 0  для всех x, поэтому и  g(g(x)) > 0  для всех x, и утверждение доказано.
  Если же g(x) имеет корни, то минимальное значение  f(x) больше любого корня g(x). Действительно, если  g(a) = 0  и  f(x1) ≤ a,  то найдётся такое x2, что  f(x2) = a.  Тогда  g(f(x2)) = 0,  что невозможно. Тем более, минимальное значение g(x) больше любого корня g(x). Поэтому уравнение  g(g(x)) = 0  не может иметь вещественных корней.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 07.5.9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .