ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111843
Темы:    [ Обыкновенные дроби ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу и в знаменателях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу. Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечётным знаменателем.


Решение 1

  Пусть вначале в сумму входила дробь a/2. Докажем, что в исходной сумме найдётся такая дробь b/c с нечётным знаменателем c, что числа a и b имеют разную чётность. Действительно, дробей с нечётными знаменателями ровно 50, и число a не является числителем ни одной из них. Поэтому среди числителей таких дробей не больше 49 имеют ту же чётность, что и a.
  Поменяем теперь местами числители a и b. Сделаем это в два приема: сначала поменяем числитель у дроби со знаменателем 2 (сумма изменилась на нечётное число  a – b  половинок и, значит, превратилась в целое число), а затем – числитель дроби со знаменателем c (сумма изменилась на дробь с нечётным знаменателем, то есть стала дробью с нечётным знаменателем).


Решение 2

  Пусть вначале в сумму входила дробь x/64. Тогда среди числителей встречается либо число  x – 32,  либо число x + 32;  обозначим этот числитель через y, а соответствующий ему знаменатель – через z. Поменяем местами x и y. Тогда дробь со знаменателем 64 изменилась на ½, а дробь со знаменателем z изменилась на 32/z; несократимая запись последней дроби имеет нечётный знаменатель. Отсюда, как и в предыдущем решении, получаем, что новая сумма дробей имеет нечётный знаменатель в несократимой записи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 07.5.9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .