Задача 111867

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Окружность Ферма-Аполлония ] [ Гомотетичные окружности ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Описанные четырехугольники ] [ Композиции гомотетий ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Шмаров В.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD . Пусть P и Q – точки пересечения лучей BA и CD , BC и AD соответственно, а H – проекция D на PQ . Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников ADP и CDQ видны из точки H под равными углами.

Решение

Пусть ω₁ и ω₂ – вписанные окружности треугольников ADP и CDQ , I₁ и I₂ – их центры, r₁ и r₂ – их радиусы. Так как окружности ω₁ и ω₂ гомотетичны с центром D , то = .

1. Пусть r₁ r₂ , и S – центр гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей ω₁ в ω₂ (то есть точка пересечения общих внешних касательных к окружностям, см.117). Второе из условий равносильно тому, что = . Известно, что множество всех точек X таких, что == , есть окружность с диаметром SD (она называется окружностью Аполлония}. Поэтому последнее условие равносильно тому, что DHS=90^o , то есть тому, что S лежит на прямой PQ . Остается доказать, что условие S PQ равносильно описанности четырехугольника ABCD . Пусть четырехугольник ABCD описан вокруг некоторой окружности ω . Из теоремы о трех центрах гомотетии следует, что точки S , P и Q лежат на одной прямой (как центры гомотетий с положительными коэффициентами, переводящих ω₁ в ω₂ , ω в ω₁ , ω₂ в ω ). Наоборот, предположим, что S лежит на PQ . Пусть ω – вневписанная окружность треугольника CDQ , касающаяся его стороны CD . Пусть T – центр гомотетии с положительным коэффициентом окружностей ω и ω₁ (точка пересечения их общих внешних касательных). Из теоремы о трех центрах гомотетии следует, что T , Q и S лежат на одной прямой, то есть T лежит на прямой PQ . С другой стороны, T лежит на прямой PC , поэтому T совпадает с P . Тогда прямая PB касается ω , то есть четырехугольник ABCD описан вокруг ω .

2. Пусть r₁=r₂ , тогда ω₁ и ω₂ симметричны относительно биссектрисы угла ADC . Второе из условий равносильно тому, что HI₁=HI₂ DH I₁I₂ I₁I₂|| PQ . Если четырехугольник ABCD описан около ω , то ω симметрична относительна . Тогда прямые BA и BC , DC и DA симметричны относительно (как общие касательные к ω и ω₁ , ω и ω₂ ), а значит, P и Q также симметричны, и PQ|| I₁I₂ . Наоборот, если I₁I₂ || PQ , то прямые DA и DC симметричны относительно прямой DH (как касательные к ω₁ и ω₂ ) точки P и Q симметричны относительно DH прямые BA и BC симметричны относительно прямой DH четырехугольник ABCD симметричен относительно прямой DH , следовательно, он описан.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	08.5.11.7