Условие
Дан выпуклый четырёхугольник
ABCD . Пусть
P и
Q – точки пересечения лучей
BA и
CD ,
BC и
AD соответственно, а
H – проекция
D на
PQ . Докажите, что четырёхугольник
ABCD является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников
ADP и
CDQ видны из точки
H под равными углами.
Решение
Пусть
ω1 и
ω2 – вписанные окружности треугольников
ADP и
CDQ ,
I1 и
I2 – их центры,
r1 и
r2 – их радиусы. Так как окружности
ω1 и
ω2 гомотетичны с центром
D , то
= 
.
1. Пусть r1 
r2 , и S – центр гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей ω1 в ω2 (то есть точка пересечения общих внешних касательных к окружностям, см.117). Второе из условий равносильно тому, что 
= . Известно, что множество всех точек X таких, что 
==
, есть окружность с диаметром SD (она называется окружностью Аполлония}. Поэтому последнее условие равносильно тому, что 
DHS=90o , то есть тому, что S лежит на прямой PQ . Остается доказать, что условие S
PQ равносильно описанности четырехугольника ABCD .
Пусть четырехугольник ABCD описан вокруг некоторой окружности ω . Из теоремы о трех центрах гомотетии следует, что точки S , P и Q лежат на одной прямой (как центры гомотетий с положительными коэффициентами, переводящих ω1 в ω2 , ω в ω1 , ω2 в ω ).
Наоборот, предположим, что S лежит на PQ . Пусть ω – вневписанная окружность треугольника CDQ , касающаяся его стороны CD . Пусть T – центр гомотетии с положительным коэффициентом окружностей ω и ω1 (точка пересечения их общих внешних касательных). Из теоремы о трех центрах гомотетии следует, что T , Q и S лежат на одной прямой, то есть T лежит на прямой PQ . С другой стороны, T лежит на прямой PC , поэтому T совпадает с P . Тогда прямая PB касается ω , то есть четырехугольник ABCD описан вокруг ω .
2. Пусть r1=r2 , тогда ω1 и ω2 симметричны относительно биссектрисы 
угла ADC . Второе из условий равносильно тому, что HI1=HI2 
DH
I1I2 I1I2|| PQ .
Если четырехугольник ABCD описан около ω , то ω симметрична относительна . Тогда прямые BA и BC , DC и DA симметричны относительно (как общие касательные к ω и ω1 , ω и ω2 ), а значит, P и Q также симметричны, и PQ|| I1I2 .
Наоборот, если I1I2 || PQ , то прямые DA и DC симметричны относительно прямой DH (как касательные к ω1 и ω2 ) 
точки P и Q симметричны относительно DH прямые BA и BC симметричны относительно прямой DH четырехугольник ABCD симметричен относительно прямой DH , следовательно, он описан.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
|
год |
|
Год |
2008 |
|
Этап |
|
Вариант |
5 |
|
Класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
08.5.11.7 |
