Задача 111879

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Удвоение медианы ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH.

Решение

  Пусть A'B'C' – треугольник, образованный проведёнными прямыми (см. рис.) и G – точка пересечения его медиан. Мы докажем, что M является серединой отрезкаGH.
  Достроим треугольник BMC до параллелограммаBMCA₁. Отрезок MA₁ делит сторону BC пополам, поэтому A₁ лежит на прямой AM, причём
AM = A₁M.  Кроме того,  BA₁ || MC ⊥ A'B'  и  CA₁ || MB ⊥ A'C',  поэтому BA₁ и CA₁ – высоты треугольника BA'C. Значит, A₁ – ортоцентр этого треугольника и  A'A₁ ⊥ BC.
  Стороны треугольника BA₁M перпендикулярны сторонам треугольника A'B'C' соответственно, поэтому эти треугольники подобны, причём соответствующие прямые BC и AG, содержащие медианы этих треугольников, перпендикулярны. Значит, прямая A'G совпадает с прямой A'A₁. Пусть G' – точка, симметричная точке H относительно M. Треугольники AHM и A₁G'M симметричны относительно M, поэтому  A₁G' || AH ⊥ BC.  Отсюда следует, что G' лежит на прямой A'G. Аналогично G' лежит на прямой B'G, то есть G' совпадает с G.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	08.5.9.3