Задача 111911

Темы:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Блинков А.Д.

После урока на доске остался график функции  y = ^k/_x  и пять прямых, параллельных прямой  y = kx  (k ≠ 0).
Найдите произведение абсцисс всех десяти точек пересечения.

Решение

Прямая, параллельная прямой  y = kx,  имеет уравнение  y = kx + b.  Абсциссами точек её пересечения с гиперболой являются оба корня уравнения   ^k/_x = kx + b   ⇔   kx² + bx – k = 0.   Произведение корней этого уравнения равно –1. Перемножив пять таких произведений, получаем ответ.

Ответ

–1.

Замечания

1. Каждое из указанных квадратных уравнений имеет два действительных корня. Геометрически это как раз означает, что любая прямая, параллельная прямой  y = kx,  пересекает гиперболу в двух точках.

2. Аналогично можно доказать более общий факт – произведение абсцисс точек пересечения прямой и гиперболы  y = ^k/_x  зависит только от k и угла наклона прямой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	72
Год	2009
класс
Класс	9
задача
Номер	1