Задача 115277

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD известно, что AB=BC=CD . Диагонали трапеции пересекаются в точке O . Окружность, описанная около треугольника ABO , пересекает основание AD в точке E . Докажите, что BEDC — ромб.

Решение

Диагонали равнобедренной трапеции образуют равные углы с основанием, поэтому

BDC = DBC = BCA= CAD,
а т.к. вписанные в окружность углы OAE и OBE опираются на одну и ту же дугу, то
CAD = OAE = OBE= DBE.
Таким образом, BDC = DBE , следовательно, BE || CD . Тогда четырёхугольник BEDC — параллелограмм с равными соседними сторонами. Следовательно, BEDC — ромб.

Из равенства BC=CD и свойств равнобедренной трапеции следует, что
CBO = CBD = CAB = OAB.
Тогда по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, BC — касательная к окружности, описанной около треугольника AOB . Хорда AE параллельна этой касательной, значит, треугольник ABE — равнобедренный, поэтому BE=AB=BC и BEA = BAE = CDA . Следовательно, BE || CD . Тогда четырёхугольник BEDC — параллелограмм с равными соседними сторонами, т.е. ромб.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2953