Задача 115279

Темы:    [ Геометрические неравенства ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В произвольный треугольник вписана окружность. Проведём три касательные к ней, параллельно сторонам треугольника. Докажите, что периметр образовавшегося шестиугольника не превосходит периметра исходного треугольника.

Решение

Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC со сторонами AB=c , AC = b и BC=a , MNPQRT — шестиугольник, о котором говорится в условии задачи (см.рисунок). При симметрии относительно точки O прямая MN переходит в параллельную ей прямую BC , а прямая AB — в параллельную ей прямую PQ , поэтому точка M пересечения прямых MN и AB переходит в точку пересечения прямых BC и PQ , т.е. в точку Q . Аналогично, точка N переходит в точку R . Следовательно, отрезок MN переходит в отрезок QR . Аналогично, отрезок PQ переходит в отрезок TM , а отрезок RT — в отрезок NP . Таким образом противоположные стороны шестиугольника MNPQRT попарно равны. Пусть p и p1 — полупериметры треугольников ABC и AMN соответственно, C1 — точка касания окружности со стороной AB . Тогда p1= AC1=p-a , значит, коэффициент подобия треугольников AMN и ABC равен = , поэтому

QR=MN=BC· = .
Аналогично,
NP=RT = , TM=PQ = .
Следовательно, периметр шестиугольника MNPQRT равен ++ . Далее имеем:
++ · 2p

++ p

(a+b+c)p-(a2+b2+c2) p2

(a+b+c)2-(a2+b2+c2) ·

3(a2+b2+c2) (a+b+c)2

3a2+3b2+3c2 a2+b2+c2+ 2ab+2ac+2bc

a2-2ab+b2 +b2-2bc+c2+a2-2ac+c2 0

(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2 0.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2955