|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC заданы длины двух сторон: AB = 6, BC = 16. Кроме того, известно, что центр окружности, проведённой через вершину B и середины сторон AB и AC, лежит на биссектрисе угла C. Найдите AC.
Решение
Пусть N и M – середины сторон соответственно AB и AC треугольника ABC, O – центр окружности,
проходящей через точки B, N и M, K – отличная от B точка пересечения этой окружности со стороной BC. Поскольку MN – средняя линия треугольника ABC, хорды MN и BK параллельны, поэтому
MK = NB = ½ AB = 3. Заметим, что AC ≠ BC, так как иначе бисcектриса угла C лежала бы на серединном перпендикуляре к стороне AB треугольника ABC, что невозможно, поскольку лежащая на этой биссектрисе точка O принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку BN, а серединные перпендикуляры отрезков AB и BN параллельны. В треугольниках OMC и OKC известно, что ∠OCM = ∠OCK, OM = OK, а сторона OC – общая. Аналогично для треугольников OMC и OBC . Значит, треугольник OMC равен либо треугольнику OKC, либо треугольнику OBC.
Рассмотрим случай, когда треугольник OMC равен треугольнику OKC. Обозначим MC = CK = x, ∠C = γ. Из треугольников CKM и ABC по теореме косинусов находим, что
Таким образом, 16x(2x² – 9) = 2x(x² + 55) ⇔ x³ – 16x² + 55x + 72 = 0 ⇔ (x + 1)(x – 9)(x – 8) = 0.
Ясно, что x не может быть отрицательным. Если же x = 8, то AC = 2x = 16 = BC, что невозможно. Значит, x = 9 и AC = 2x = 18.
Пусть теперь треугольник OMC равен треугольнику OBC. Тогда MC = BC = 16, поэтому AC = 2MC = 32, что невозможно, так как в этом случае
AB + BC = 6 + 16 < 32 = AC.
Ответ
18.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2957 |
