Задача 115283

Темы:    [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC . На его стороне AB выбирается точка P и через неё проводятся прямые PM и PN , параллельные AC и BC соответственно (точки M и N лежат на сторонах BC и AC ); Q — точка пересечения описанных окружностей треугольников APN и BPM , отличная от P . Докажите, что все прямые PQ проходят через фиксированную точку.

Решение

Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Обозначим ACB = g . Тогда

AQP = ANP = ACB = g, BQP = BMP = ACB = g,
значит, для любого положения точки P отрезок AB виден из точки Q под одним и тем же углом 2g , поэтому все точки Q лежат на одной и той же окружности, а т.к. QP — биссектриса угла AQB , то все прямые PQ проходят через середину не содержащей точку Q дуги AB этой окружности. Аналогично для остальных случаев.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2959