ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 115289
УсловиеВершины A и B правильного треугольника ABC лежат на окружности S , а вершина C — внутри этой окружности. Точка D лежит на окружности S , причём BD=AB . Прямая CD пересекает S в точке E . Докажите, что длина отрезка EC равна радиусу окружности S .РешениеТочки A , C и D равноудалены от точки B , поэтому точка B — центр окружности S1 , описанной около треугольника ACD . Угол ADC вписан в окружность S1 , а ABC — центральный угол этой окружности, поэтомуПусть O — центр окружности S . Тогда AOE — центральный угол окружности S , соответствующий вписанному углу ADE . Поэтому значит, треугольник AOE — также равносторонний. Следовательно, OE=AE . Точки O и C равноудалены от концов отрезка AB , поэтому прямая OC — серединный перпендикуляр к этому отрезку, значит, OC — биссектриса угла AOB . Тогда Поскольку EO=EA , точки O и A лежат на окружности S2 с центром E . Докажем, что точка C также лежит на этой окружности. Отсюда будет следовать требуемое равенство отрезков OE и EC . Предположим, что луч OC пересекает окружность в некоторой точке C1 . Тогда AEC1 — центральный угол окружности S2 , соответствующий вписанному углу AOC1 , поэтому Следовательно, точка C1 совпадает с точкой C . Отсюда следует, что точка C лежит на окружности S2 . Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|