Задача 115293

Тема:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Центры O1 , O2 и O3 трёх непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек O1 , O2 и O3 проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвет. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.

Решение

Обозначим точки касания через X1 , X2 , Y1 , Y2 , Z1 , Z2 , а вершины шестиугольника — A , B , C , D , E и F (см. рисунок). Радиусы окружностей одинаковы, поэтому

X1O2=O1Y2, Y1O3=O2Z2, Z1O1= O3X2,
или
X1A+AB+BO2=O1B+BC+CY2,

Y1C+CD+DO3=O2D+DE+EZ2,

Z1E+EF+FO1=O3F+FA+AX2.
Сложив почленно полученные равенства и заметив, что
X1A=AX2, Y1C=CY2, Z1E=EZ2
(как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки) и
BO2=O1B, DO3=O2D, FO1=O3F
(т.к. радиусы данных окружностей равны), получим, что
AB+CD+EF=BC+DE+FA,
что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2969