Задача 115300

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

ABCD – выпуклый четырёхугольник, в котором  AD = BD = AC.  Точки M и N – середины сторон AB и CD соответственно. Отрезок MN пересекает диагонали четырёхугольника в точках X и Y, P – точка пересечения AN и DM. Докажите, что  PX = PY.

Решение

  Пусть диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O (см. рис.). В равнобедренных треугольниках ADB и DAC медианы DM и AN являются биссектрисами и высотами. Значит, P – центр вписанной окружности ω треугольника AOD.

  Точки M и N лежат на окружности с диаметром AD (см. рис.). Вписанные в эту окружность углы NMD и NAD опираются на одну и ту же дугу, поэтому  ∠XMP = ∠NMD = ∠NAD = ∠NAC = ∠PAX.
  Следовательно, точки A, M, X и P лежат на одной окружности, а так как  ∠AM = 90°,  то A – диаметр этой окружности. Значит, угол AXP – прямой, то есть PX – радиус окружности ω. Аналогично PY – радиус окружности ω. Следовательно,  PX = PY.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3406