Задача 115301

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Биссектриса внешнего угла при вершине C пересекает прямые AB и A₁B₁ в точках L и K соответственно. Оказалось, что  CL = 2CK.  Найдите угол C.

Решение

  Как известно, треугольник CA₁B₁ подобен треугольнику CAB с коэффициентом подобия   cos∠C.
  Будем считать, что точка L лежит на продолжении стороны AB за точку B. Докажем, что точка C лежит между K и L. Допустим, что это не так. Тогда, если P – точка на продолжении стороны AC за точку C, а Q – точка на продолжении стороны AB за точку A, то  ∠A₁CK = ∠LCP,
∠CA₁K = 180° – ∠CA₁B₁ = 180° – ∠CAB = ∠CAQ,  значит, сумма двух углов треугольника CA₁K равна сумме двух внешних углов треугольника ACL, то есть больше 180°. Противоречие.
  Заметим, что углы треугольников CAL и CA₁K при вершине C равны. Кроме того,  ∠A = ∠CA₁B₁. Значит, эти треугольники подобны. Поэтому
cos∠C = ^CA₁/_CA = ^CK/_CL = ½.

Ответ

60°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3407