Задача 115302

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники ] [ Шестиугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Оказалось, что AB=BD , CE=EF . Диагонали AC и BE пересекаются в точке X , диагонали BE и DF — в точке Y , диагонали BF и AE — в точке Z . Докажите, что треугольник XYZ — равнобедренный.

Решение

Вписанные углы AEB и BFD опираются на равные хорды, поэтому

YEZ = AEB = BFD = YFZ.
Из точек E и F отрезок YZ виден под одним и тем же углом, значит, точки E , F , Y и Z лежат на одной окружности, т.е. четырёхугольник EYZF — вписанный. Следовательно,
XYZ = 180^o- EYZ = EFZ = EFB.
Аналогично докажем, что YXZ = EAB , а т.к. вписанные в исходную окружность углы EFB и EAB опираются на одну и ту же дугу, то
XYZ = EFB= EAB = YXZ.
Следовательно, треугольник XYZ — равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3408