Задача 115306

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Центр I вписанной окружности остроугольного треугольника ABC лежит на биссектрисе острого угла между высотами AA1 и CC1 . Докажите, что IA1=IC1=IL , где L — основание биссектрисы угла B треугольника ABC .

Решение

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC . Будем считать, что точка I лежит внутри угла A1HC . Обозначим ABC = a . Тогда

A1HC = a, A1HI = = A1BI,
значит, из точек H и B отрезок A1I виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки B , H , I , A1 лежат на одной окружности, причём BH — диаметр этой окружности т.к. BA1H = 90^o . Из точки C1 отрезок BH виден под прямым углом, поэтому точка C1 также лежит на этой окружности. Поскольку BI — биссектриса вписанного угла A1BC1 , точка I — середина дуги A1IC1 , поэтому IA1=IC1 . Вписанные углы BIA1 и BHA1 опираются на одну и ту же дугу, поэтому
BIA1= BHA1 = ACB,
значит, четырёхугольник ILCA1 — вписанный, а т.к. CI — биссектриса угла LCA1 , то IL=IA1 . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3412