Условие
Окружность, проходящая через вершины
A и
C и
ортоцентр треугольника
ABC , пересекает стороны
AB и
BC в точках
X и
Y . На стороне
AC
выбраны точки
Z и
T так, что
ZX=ZY и
ZA=TC .
Докажите, что
BT 
XY .
Решение
Пусть
B' — точка, симметричная вершине
B относительно
середины стороны
AC ,
H — ортоцентр треугольника
ABC .
Точка
B' лежит на окружности, о которой говорится в условии
задачи, т.к.
AB'C = ABC = 180o- AHC,
т.е. четырёхугольник
AHCB' — вписанный.
Поскольку отрезки
ZA и
TC равны, при рассматриваемой симметрии
точка
T переходит в
Z , а отрезок
BT — в параллельный ему
отрезок
B'Z . Поэтому достаточно доказать, что
B'Z XY .
По условию задачи точка
Z равноудалена от концов отрезка
XY .
Четырёхугольник
ABCB' параллелограмм, поэтому
XAB' =
BAB' = BCB'= YCB' . Равные вписанные углы
XAB' и
YCB' опираются на равные хорды, т.е.
B'X=B'Y .
Таким образом, различные точки
Z и
B' равноудалены от концов
отрезка
XY . Следовательно,
B'Z — серединный перпендикуляр
к
XY . Отсюда следует утверждение задачи.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
3413 |
