Задача 115307

Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружность, проходящая через вершины A и C и ортоцентр треугольника ABC , пересекает стороны AB и BC в точках X и Y . На стороне AC выбраны точки Z и T так, что ZX=ZY и ZA=TC . Докажите, что BT XY .

Решение

Пусть B' — точка, симметричная вершине B относительно середины стороны AC , H — ортоцентр треугольника ABC . Точка B' лежит на окружности, о которой говорится в условии задачи, т.к.

AB'C = ABC = 180^o- AHC,
т.е. четырёхугольник AHCB' — вписанный. Поскольку отрезки ZA и TC равны, при рассматриваемой симметрии точка T переходит в Z , а отрезок BT — в параллельный ему отрезок B'Z . Поэтому достаточно доказать, что B'Z XY . По условию задачи точка Z равноудалена от концов отрезка XY . Четырёхугольник ABCB' параллелограмм, поэтому XAB' = BAB' = BCB'= YCB' . Равные вписанные углы XAB' и YCB' опираются на равные хорды, т.е. B'X=B'Y . Таким образом, различные точки Z и B' равноудалены от концов отрезка XY . Следовательно, B'Z — серединный перпендикуляр к XY . Отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3413