Задача 115309

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Средняя линия треугольника ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точки P и Q – середины оснований AD и BC трапеции ABCD соответственно. Оказалось, что  AB = BC,  а точка P лежит на биссектрисе угла B.
Докажите, что  BD = 2PQ.

Решение 1

Пусть Q₁ – середина стороны AB. Треугольники BPQ₁ и BPQ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому  PQ = PQ₁, а так как  PQ₁ – средняя линия треугольника ABD, то  PQ₁ = ½ BD.  Следовательно,  PQ = PQ₁ = ½BD.

Решение 2

Точка P лежит на биссектрисе угла B и  BC || AD,  поэтому ∠APB = ∠CBP = ∠ABP.  Значит, треугольник APB – равнобедренный,  AB = AP.  Таким образом,  BC = AB = AP = PD  и   BC || AP.  Следовательно, четырёхугольник ABCP – ромб, а BPDC – параллелограмм. Точка O пересечения диагоналей CP и BD этого параллелограмма – середина каждого из отрезков CP и AD. Медианы PQ и BO равнобедренного треугольника BPC, проведённые к равным сторонам, равны, следовательно,  PQ = BO = ½ BD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3415