Задача 115311

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

AL – биссектриса треугольника ABC, причём  AL = LB.  На луче AL отложен отрезок AK, равный CL. Докажите, что  AK = CK.

Решение

  Обозначим  ∠CAL = ∠LAB = α.  Тогда  ∠ABL = ∠LAB = α.
  Пусть серединный перпендикуляр к отрезку AC пересекает луч AL в точке K'. Тогда треугольник AK'C – равнобедренный,  ∠ACK' = ∠CAK' = α,
AK' = CK'.  Осталось доказать, что  AK' = CL  (тогда точка K' совпадает с точкой K).
  Пусть точка K' лежит на отрезке AL. Тогда LK'C – внешний угол треугольника ACK', поэтому  ∠LK'C = 2α = ∠CLA.  Значит, треугольник LCK' равнобедренный и  AK' = CK' = CL.
  Если же точка K' лежит на луче AL вне треугольника ABC, то  ∠CK'A = 180° – ∠K'AC – K'CA = 180° – 2α = ∠K'LC.  Значит, треугольник LCK' равнобедренный,  AK' = CK' = CL.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3417