Условие
На стороне
AC треугольника
ABC отмечена точка
D .
Произвольный луч
l , выходящий из вершины
B , пересекает
отрезок
AC в точке
K , а описанную окружность
треугольника
ABC — в точке
L . Докажите, что
описанная окружность треугольника
DKL проходит через
фиксированную точку, отличную от
D и не зависящую
от выбора луча
l .
Решение
Преположим, что точка
K лежит между
A и
D . Через вершину
B треугольника
ABC проведём прямую, параллельную
AC . Пусть
эта прямая пересекает описанную окружность треугольника в точке
P (если треугольник
ABC равнобедренный, то точка
P
совпадает с
B ), а луч
PD пересекает окружность в точке
Q .
Докажем, что четырёхугольник
LKDQ — вписанный. Это будет
означать, что окружность, описанная около треугольника
DKL ,
проходит через точку
Q .
Обозначим через
a — величину дуги
AP , не содержащей
точки
C , а через
b — величину дуги
CQ , не содержащей
точки
B . Тогда величина дуги
BC , не содержащей точки
A также
равна
a (дуги, заключённые между параллельными хордами,
равны). Хорды
AC и
PQ пересекаются в точке
D , поэтому
ADP = 
. Вписанный угол
BLQ
опирается на дугу
BCQ , поэтому
KLQ = BLQ =
a+b = ADP,
значит,
KLQ + KDQ = 180
o . Следовательно,
четырёхугольник
LKDQ — вписанный. Что и требовалось доказать.
Аналогично для случая, когда точка
K лежит между
D и
C .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
3420 |
